Ln натуральный логарифм. Разбираемся с натуральным логарифмом

1.1. Определение степени для целого показателя степени

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N раз

1.2. Нулевая степень.

По определению принято считать, что нулевая степень любого числа равна 1:

1.3. Отрицательная степень.

X -N = 1/X N

1.4. Дробная степень, корень.

X 1/N = корень степени N из Х.

Например: X 1/2 = √X.

1.5. Формула сложения степеней.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Формула вычитания степеней.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Формула умножения степеней.

X N*M = (X N) M

1.8. Формула возведения дроби в степень.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Число e.

Значение числа e равно следующему пределу:

E = lim(1+1/N), при N → ∞.

С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512.

3. Равенство Эйлера.

Это равенство связывает пять чисел, играющих особую роль в математике: 0, 1, число e, число пи, мнимую единицу.

E (i*пи) + 1 = 0

4. Экспоненциальная функция exp (x)

exp(x) = e x

5. Производная экспоненциальной функции

Экспоненциальная функция обладает замечательным свойством: производная функции равна самой экспоненциальной функции:

(exp(x))" = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Определение функции логарифм

Если x = b y , то логарифмом называется функция

Y = Log b (x).

Логарифм показывает в какую степень надо возвести число - основание логарифма (b), чтобы получить заданное число (X). Функция логарифм определена для X больше нуля.

Например: Log 10 (100) = 2.

6.2. Десятичный логарифм

Это логарифм по основанию 10:

Y = Log 10 (x) .

Обозначается Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Пример использования десятичного логарифма — децибел .

6.3. Децибел

Пункт выделен в отдельную страницу Децибел

6.4. Двоичный логарифм

Это логарифм по основанию 2:

Y = Log 2 (x).

Обозначается Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральный логарифм

Это логарифм по основанию e:

Y = Log e (x) .

Обозначается Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Натуральный логарифм — обратная функция к экспоненциальной функции exp (X).

6.6. Характерные точки

Log a (1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Формула логарифма произведения

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Формула логарифма частного

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Формула логарифма степени

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Формула преобразования к логарифму с другим основанием

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Пример:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формулы полезные в жизни

Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача -- пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича .

Разрешается использовать материалы сайта при условии установки активной ссылки на источник.

Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.

Определение

Натуральный логарифм - это функция y = ln x , обратная к экспоненте , x = e y , и являющаяся логарифмом по основанию числа е : ln x = log e x .

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/ x .

Исходя из определения , основанием натурального логарифма является число е :
е ≅ 2,718281828459045... ;
.

График функции y = ln x .

График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( - ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм" .

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента .

Если , то

Если , то .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям :
.
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ :
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Урок и презентация на темы: "Натуральные логарифмы. Основание натурального логарифма. Логарифм натурального числа"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Что такое натуральный логарифм

Ребята, на прошлом уроке мы с вами узнали новое, особенное число – е. Сегодня мы продолжим работать с этим числом.
Мы с вами изучили логарифмы и знаем, что в основании логарифма может стоять множество чисел, которые больше 0. Сегодня мы также рассмотрим логарифм, в основании которого стоит число е. Такой логарифм принято называть натуральным логарифмом. У него есть собственная запись: $\ln{n}$ - натуральный логарифм. Такая запись эквивалентна записи: $\log_e{n}=\ln{n}$.
Показательные и логарифмические функции являются обратными, тогда натуральный логарифм, является обратной для функции: $y=e^x$.
Обратные функции являются симметричными относительно прямой $y=x$.
Давайте построим график натурального логарифма, отразив экспоненциальную функцию относительно прямой $y=x$.

Стоит заметить угол наклона касательной к графику функции $y=e^x$ в точке (0;1) равен 45°. Тогда угол наклона касательной к графику натурального логарифма в точке (1;0) также будет равен 45°. Обе эти касательные будут параллельны прямой $y=x$. Давайте схематично изобразим касательные:

Свойства функции $y=\ln{x}$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, не ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Выпукла вверх.
9. Дифференцируема всюду.

В курсе высшей математики доказано, что производная обратной функции есть величина, обратная производной данной функции .
Углубляться в доказательство не имеет большого смысла, давайте просто запишем формулу: $y"=(\ln{x})"=\frac{1}{x}$.

Пример.
Вычислить значение производной функции: $y=\ln(2x-7)$ в точке $х=4$.
Решение.
В общем виде наша функция представляют функцию $y=f(kx+m)$, производные таких функций мы умеем вычислять.
$y"=(\ln{(2x-7)})"=\frac{2}{(2x-7)}$.
Вычислим значение производной в требуемой точке: $y"(4)=\frac{2}{(2*4-7)}=2$.
Ответ: 2.

Пример.
Провести касательную к графику функции $y=ln{x}$ в точке $х=е$.
Решение.
Уравнение касательной к графику функции, в точке $х=а$, мы хорошо помним.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Последовательно вычислим требуемые значения.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln{e}=1$.
$f"(a)=\frac{1}{a}=\frac{1}{e}$.
$y=1+\frac{1}{e}(x-e)=1+\frac{x}{e}-\frac{e}{e}=\frac{x}{e}$.
Уравнение касательной в точке $х=е$ представляет собой функцию $y=\frac{x}{e}$.
Давайте построим график натурального логарифма и касательной.

Пример.
Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: $y=x^6-6*ln{x}$.
Решение.
Область определения функции $D(y)=(0;+∞)$.
Найдем производную заданной функции:
$y"=6*x^5-\frac{6}{x}$.
Производная существует при всех х из области определения, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки:
$6*x^5-\frac{6}{x}=0$.
$\frac{6*x^6-6}{x}=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Точка $х=-1$ не принадлежит области определения. Тогда имеем одну стационарную точку $х=1$. Найдем промежутки возрастания и убывания:

Точка $х=1$ – точка минимума, тогда $y_min=1-6*\ln{1}=1$.
Ответ: Функция убывает на отрезке (0;1], функция возрастает на луче $}