Умножение и деление дробей. Деление смешанных чисел: правила, примеры, решения

Тип урока: ОНЗ (открытие новых знаний – по технологии деятельностного метода обучения).

Основные цели:

1. Вывести приемы деления дроби на натуральное число;
2. Сформировать способность к выполнению деления дроби на натуральное число;
3. Повторить и закрепить деление дробей;
4. Тренировать способность к сокращению дробей, анализу и решению задач.

Оборудование демонстрационный материал:

1. Задания для актуализации знаний:

Сравните выражения:

Эталон:

2. Пробное (индивидуальное) задание.

1. Выполните деление:

2. Выполните деление, не выполняя всю цепочку вычислений: .

Эталоны:

• При делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.

• Если числитель делится на натуральное число, то при делении дроби на это число можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить прежним.

Ход урока

I. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.

Цель этапа:

1. Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности («надо»);
2. Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»);
3. Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу»).

Организация учебного процесса на этапе I.

Здравствуйте! Я рада видеть вас всех на уроке математики. Надеюсь, это взаимно.

Ребята, какие новые знания вы приобрели на прошлом уроке? (Делить дроби).

Верно. Что вам помогает выполнять деление дробей? (Правило, свойства).

Где эти знания нам необходимы? (В примерах, уравнениях, задачах).

Молодцы! Вы хорошо справились с заданиями на прошлом уроке. Хотите и сегодня открыть сами новые знания? (Да).

Тогда – в путь! А девизом урока возьмём высказывание «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!».

II. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.

Цель этапа:

1. Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания. Зафиксировать эти способы вербально (в речи) и знаково (эталон) и обобщить их;
2. Организовать актуализацию мыслительных операций и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;
3. Мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;
4. Предъявить индивидуальное задание для пробного действия и проанализировать его с целью выявления нового учебного содержания;
5. Организовать фиксацию образовательной цели и темы урока;
6. Организовать выполнение пробного действия и фиксацию затруднения;
7. Организовать анализ полученных ответов и зафиксировать индивидуальные затруднения в выполнении пробного действия или его обоснования.

Организация учебного процесса на этапе II.

Фронтально, с использованием планшетов (индивидуальных досок).

1. Сравните выражения:

(Эти выражения равны)

Что интересного вы заметили? (Числитель и знаменатель делимого, числитель и знаменатель делителя в каждом выражении увеличились в одно и то же число раз. Т.о., делимые и делители в выражениях представлены дробями, равными между собой).

Найдите значение выражения и запишите на планшете. (2)

Как записать это число в виде дроби?

Как вы выполнили действие деления? (Дети проговаривают правило, учитель вывешивает на доску буквенные обозначения)

2. Вычислите и запишите только результаты:

3. Сложите полученные результаты и запишите ответ. (2)

Как называется число, полученное в задании 3? (Натуральное)

Как вы думаете, сможете ли дробь разделить на натуральное число? (Да, постараемся)

Попробуйте это выполнить.

4. Индивидуальное (пробное) задание.

Выполните деление: (только пример а)

По какому правилу вы выполнили деление? (По правилу деления дроби на дробь)

А теперь разделите дробь на натуральное число более простым способом, не выполняя всю цепочку вычислений: (пример б). Даю вам на это 3 секунды.

У кого не получилось выполнить задание за 3 секунды?

У кого получилось? (Нет таких)

Почему? (Не знаем способа)

Что получили? (Затруднение)

А как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Делить дроби на натуральные числа)

Верно, откройте тетради и запишите тему урока «Деление дроби на натуральное число».

Почему эта тема звучит как новая, ведь вы уже умеете делить дроби? (Нужен новый способ)

Верно. Сегодня установим приём, упрощающий деление дроби на натуральное число.

III. Выявление места и причины затруднения.

Цель этапа:

1. Организовать восстановление выполненных операций и зафиксировать (вербальную и знаковую) место – шага, операции, где возникло затруднение;
2. Организовать соотнесение действий учащихся с используемым способом (алгоритмом) и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостает для решения исходной задачи такого типа.

Организация учебного процесса на этапе III.

Какое задание вы должны были выполнить? (Разделить дробь на натуральное число, не проделывая всю цепочку вычислений)

Что вызвало у вас затруднение? (Не смогли решить за короткое время быстрым способом)

Какую цель мы ставим перед собой на уроке? (Найти быстрый способ деления дроби на натуральное число)

Что вам поможет? (Уже известное правило деления дробей)

IV. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:

1. Уточнение цели проекта;
2. Выбор способа (уточнение);
3. Определение средств (алгоритм);
4. Построение плана достижения цели.

Организация учебного процесса на этапе IV.

Вернёмся к пробному заданию. Вы сказали, что делили по правилу деления дробей? (Да)

Для этого заменили натуральное число дробью? (Да)

Какой шаг (или шаги), на ваш взгляд, можно пропустить?

(На доске открыта цепочка решения:

Проанализируйте и сделайте вывод. (Шаг 1)

Если нет ответа, то подводим через вопросы:

Куда попал натуральный делитель? (В знаменатель)

Числитель изменился при этом? (Нет)

Так какой шаг можно «опустить»? (Шаг 1)

План действий:

• Умножить знаменатель дроби на натуральное число.
• Числитель не изменяем.
• Получаем новую дробь.

V. Реализация построенного проекта.

Цель этапа:

1. Организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний;
2. Организовать фиксацию построенного способа действия в речи и знаков (с помощью эталона);
3. Организовать решение исходной задачи и зафиксировать преодоление затруднения;
4. Организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе V.

А теперь выполните пробный пример новым способом быстро.

Теперь вы смогли выполнить задание быстро? (Да)

Объясните, как вы это сделали? (Дети проговаривают)

Значит, мы получили новое знание: правило деления дроби на натуральное число.

Молодцы! Проговорите его в парах.

Затем один ученик проговаривает классу. Фиксируем правило-алгоритм словесно и в виде эталона на доске.

Введите теперь буквенные обозначения и запишите формулу для нашего правила.

Ученик записывает на доске, проговаривая правило: при делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.

(Все пишут формулу в тетрадях).

А теперь ещё раз проанализируйте цепочку решения пробного задания, обратив особое внимание на ответ. Что сделали? (Числитель дроби 15 разделили (сократили) на число 3)

Что это за число? (Натуральное, делитель)

Так как еще можно разделить дробь на натуральное число? (Проверить: если числитель дроби делится на это натуральное число, то можно числитель разделить на это число, результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним)

Запишите этот способ в виде формулы. (Ученик записывает на доске проговаривая правило. Все записывают формулу в тетрадях.)

Вернёмся к первому способу. Можно им пользоваться в случае, если a:n? (Да, это общий способ)

А когда второй способ удобно применять? (Когда числитель дроби делится на натуральное число без остатка)

VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

Цель этапа:

1. Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении типовых задач с их проговариванием во внешней речи (фронтально, в парах или группах).

Организация учебного процесса на этапе VI.

Вычисли новым способом:

• №363 (а; г) – выполняют у доски, проговаривая правило.
• №363 (д; е) – в парах с проверкой по образцу.

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа:

1. Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на новый способ действия;
2. Организовать самопроверку на основе сопоставления с эталоном;
3. По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию усвоения нового способа действия.

Организация учебного процесса на этапе VII.

Вычисли новым способом:

• №363 (б; в)

Учащиеся проверяют по эталону, отмечают правильность выполнения. Анализируются причины ошибок и ошибки исправляются.

Учитель спрашивает тех учащихся, кто допустил ошибки, в чём причина?

На этом этапе важно, чтобы каждый учащийся самостоятельно проверил свою работу.

VIII. Включение в систему знаний и повторение.

Цель этапа:

1. Организовать выявление границ применения нового знания;
2. Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

Организация учебного процесса на этапе VIII.

Организовать фиксацию неразрешённых затруднений на уроке как направления будущей учебной деятельности;

Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Организация учебного процесса на этапе IX.

1. Диалог:

Ребята, какое новое знание вы сегодня открыли? (Научились делить дробь на натуральное число простым способом)

Сформулируйте общий способ. (Говорят)

Каким способом, и в каких случаях можно пользоваться ещё? (Говорят)

В чём преимущество нового способа?

Достигли ли мы поставленной нами цели урока? (Да)

Какие знания вы использовали для достижения цели? (Говорят)

Всё ли у вас получилось?

В чём были затруднения?

2. Домашнее задание: п.3.2.4.; №365(л, н, о, п); №370.

3. Учитель: я рада, что сегодня все были активны, сумели найти выход из затруднения. А самое главное, не были соседями при открытии нового и его закреплении. Спасибо вам за урок, дети!

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями - ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе - и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы...

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать... Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рад за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет...

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но... Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Для решения различных заданий из курса математики, физики приходится производить деление дробей. Это сделать очень легко, если знать определенные правила выполнения этого математического действия.

Прежде чем перейти к формулированию правило том, как делить дроби, давайте вспомним некоторые математические термины:

1. Верхняя часть дроби называется числителем, а нижняя – знаменателем.
2. При делении числа называются так: делимое: делитель = частное

Как делить дроби: простые дроби

Для выполнения деления двух простых дробей следует умножить делимое на дробь, обратную делителю. Эту дробь по-другому называют еще перевернутой, потому что она получается в результате замены местами числителя и знаменателя. Например:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Как делить дроби: смешанные дроби

Если нам предстоит разделить смешанные дроби, то здесь тоже все достаточно просто и понятно. Сначала переводим смешанную дробь в обычную неправильную дробь. Для этого умножаем знаменатель такой дроби на целое число и числитель прибавляем к полученному произведению. В итоге мы получили новый числитель смешанной дроби, а знаменатель ее останется без изменения. Дальше деление дробей будет осуществляться точно так же, как и деление простых дробей. Например:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Как делить дробь на число

Для того чтобы разделить простую дробь на число, последнее следует написать в виде дроби (неправильной). Это сделать очень легко: на месте числителя пишется это число, а знаменатель такой дроби равен единице. Дальше деление выполняется обычным способом. Рассмотрим это на примере:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Как делить десятичные дроби

Нередко взрослый человек испытывает затруднения при необходимости без помощи калькулятора разделить целое число или десятичную дробь на десятичную дробь.

Итак, чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно в делителе просто зачеркнуть запятую и перестать обращать на нее внимание. В делимом запятую нужно передвинуть вправо ровно на столько знаков, сколько было в дробной части делителя, при необходимости дописывая нули. И дальше производят обычное деление на целое число. Чтобы это стало более понятно, приведем следующий пример.

С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.

Деление обыкновенных дробей

Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.

Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби a b на c d , тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель c d , это даст в итоге делимое a b . Получим число и запишем его a b · d c , где d c является обратным c d числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , где выражение a b · d c является частным от деления a b на c d .

Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:

Определение 1

Чтобы разделить обыкновенную дробь a b на c d , необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.

Запишем правило в виде выражения: a b: c d = a b · d c

Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.

Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.

Пример 1

Выполнить деление 9 7 на 5 3 . Результат записать в виде дроби.

Решение

Число 5 3 – это обратная дробь 3 5 . Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .

Ответ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.

Пример 2

Разделить 8 15: 24 65 . Ответ записать в виде дроби.

Решение

Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Выделяем целую часть и получаем 13 9 = 1 4 9 .

Ответ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Используем правило деления дроби на натуральное число:чтобы разделить a b на натуральное число n , необходимо умножить только знаменатель на n . Отсюда получим выражение: a b: n = a b · n .

Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .

Рассмотрим данное деление дроби на число.

Пример 3

Произвести деление дроби 16 45 на число 12 .

Решение

Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 16 45: 12 = 16 45 · 12 .

Произведем сокращение дроби. Получим 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .

Ответ: 16 45: 12 = 4 135 .

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную a b , необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби a b .

Исходя из правила, имеем n: a b = n · b a , а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n: a b = n · b a . Необходимо рассмотреть данное деление на примере.

Пример 4

Делить 25 на 15 28 .

Решение

Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Сократим дробь и получим результат в виде дроби 46 2 3 .

Ответ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Деление обыкновенной дроби на смешанное число

При делении обыкновенной дроби на смешанное числолегко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Пример 5

Разделить дробь 35 16 на 3 1 8 .

Решение

Так как 3 1 8 - смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим 3 1 8 = 3 · 8 + 1 8 = 25 8 . Теперь произведем деление дробей. Получим 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10

Ответ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Деление смешанного числа производится таким же образом, как и обыкновенных.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter