Сахалинской области

«Профессиональное училище № 13»

Методические указания к самостоятельной работе обучающихся

Александровск-Сахалинский

Приближенные значения величин и погрешности приближений: Метод указ. / Сост.

ГБОУ НПО «Профессиональное училище №13», - Александровск-Сахалинский, 2012

Методические указания предназначены для обучающихся всех профессий, изучающих курс математики

Председатель МК

Приближенное значение величины и погрешности приближений.

На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать с их приближенными значениями.

Тот факт, что а" есть приближенное значение числа а , записывается следующим образом:

а ≈ а" .

Если а" есть приближенное значение величины а , то разность Δ = а - а" называется погрешностью приближения *.

* Δ - греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).

Например, если число 3,756 заменить его приближенным значением 3,7, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Если в качестве приближенного значения взять 3,8, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

На практике чаще всего пользуются не погрешностью приближения Δ , а абсолютной величиной этой погрешности |Δ |. В дальнейшем эту абсолютную величину погрешности мы будем называть просто абсолютной погрешностью . Считают, что одно приближение лучше другого, если абсолютная погрешность первого приближения меньше абсолютной погрешности второго приближения. Например, приближение 3,8 для числа 3,756 лучше, чем приближение 3,7, поскольку для первого приближения
|Δ | = | - 0,044| =0,044, а для второго |Δ | = |0,056| = 0,056.

Число а" а с точностью до ε , если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε :

|а - а" | < ε .

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с точностью до 0,1, поскольку |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Аналогично, - 3/2 можно рассматривать как приближенное значение числа - 8/5 с точностью до 1/5 , поскольку

< а , то а" называется приближенным значением числа а с недостатком .

Если же а" > а , то а" называется приближенным значением числа а с избытком.

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с недостатком, поскольку 3,6 < 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

Если мы вместо чисел а и b сложим их приближенные значения а" и b" , то результат а" + b" будет приближенным значением суммы а + b . Возникает вопрос: как оценить точность этого результата, если известна точность приближения каждого слагаемого? Решение этой и подобных ей задач основано на следующем свойстве абсолютной величины:

|а + b | < |a | + |b |.

Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.

Погрешности

Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Действительно,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Упражнения для самостоятельной работы.

1. С какой точностью можно измерять длины с помощью обыкновенной линейки?

2. С какой точностью показывают время часы?

3. Знаете ли вы, с какой точностью можно измерять веc тела на современных электрических весах?

4. а) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с точностью до 0,01 равно 0,99?

б) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01 равно 0,99?

в) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с избытком с точностью до 0,01 равно 0,99?

5 . Какое приближение числа π ≈ 3,1415 лучше: 3,1 или 3,2?

6. Можно ли приближенное значение некоторого числа с точностью до 0,01 считать приближенным значением того же числа с точностью до 0,1? А наоборот?

7 . На числовой прямой задано положение точки, соответствующей числу а . Указать на этой прямой:

а) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с недостатком с точностью до 0,1;

б) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с избытком с точностью до 0,1;

в) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с точностью до 0,1.

8. В каком случае абсолютная величина суммы двух чисел:

а) меньше суммы абсолютных величин этих чисел;

б) равна сумме абсолютных величин этих чисел?

9. Доказать неравенства:

a) |a - b | < |a | + |b |; б)* |а - b | > ||а | - | b ||.

Когда в этих формулах имеет место знак равенства?

Литература:

1. Башмаков (базовый уровень) 10-11 кл. – М.,2012

2. Башмаков, 10 кл. Сборник задач. - М: Издательский центр «Академия», 2008

3. , Мордкович:Справочные материалы: Книга для учашихся.-2-е изд.-М.: Просвещение, 1990

4. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. .-М.: Педагогика,1989

Общие сведения

Часто точное число представляют ограниченным количеством цифр, отбрасывая «лишние» цифры, либо округляя его до определенного разряда. Такое число называют приближенным.

Истинная погрешность приближенного числа, т.е. разность между точным и приближенным числами, при отбрасывании цифр не превышает единицы разряда последней сохраненной цифры, а при отбрасывании с округлением, выполненному по установленным стандартом правилам, половины единицы цифры сохраняемого разряда.

Приближенное число характеризуют числом значащих цифр, к которым относят все цифры, кроме нулей слева.

Цифры в записи приближенного числа называются верными, если погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.

К приближенным числам относятся также результаты измерения А, которыми оценивают действительные значения А д измеряемой величины. Так как истинная погрешность полученного результата неизвестна, то ее заменяют понятием предельной абсолютной погрешности Δ пр = | A - A д | или предельной относительной погрешности δ пр = Δ пр / А (чаще указывается в процентах δ пр = 100 Δ пр / А)

Предельная относительная погрешность приближенного числа может быть оценена по формуле:

где δ – число верных значащих цифр;

n 1 – первая слева значащая цифра.

Для определения необходимого числа верных знаков обеспечивающих заданную предельную относительную погрешность следует руководствоваться правилами:

если первая значащая цифра не превышает трех, то число верных цифр должно быть на единицу больше, чем модуль показателя |-q| при 10 в заданной относительной погрешности δ пр = 10 -q

если первая значащая цифра 4 и больше, то модуль показателя q равен числу верных цифр.

(Если δ пр = 10 - q , то S можно определить по формуле
)

Правила вычислений с приближенными числами

Результат суммирования (вычитания) приближенных чисел будет иметь столько верных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом верных знаков.

При умножении (делении) в полученном результате будет столько значащих верных цифр, сколько их в исходном числе с наименьшим количеством верных знаков.

При возведении в степень (извлечении корня) любой степени результат имеет столько же верных знаков, сколько их в основании.

Число и мантисса его логарифма содержит одинаковое количество верных знаков.

Правило запасной цифры. Чтобы по возможности уменьшить ошибки округления, рекомендуется в тех исходных данных, которые это позволяют, а также и в результате, если он будет участвовать в дальнейших вычислениях, сохранить по одной лишней цифре сверх того, что определено правилами 1-4.

3. Класс точности и его использование для оценки инструментальной погрешности приборов

Класс точности – обобщенная характеристика, используемая для оценки предельных значений основной и дополнительной погрешностей.

Основной называют погрешность прибора, присущую ему в нормальных условиях эксплуатации.

Условия эксплуатации определяются значениями влияющих на показания приборов величин, не являющихся для данного прибора информативными. К влияющим величинам относят температуру среды, в которой выполняются измерения, положение шкалы прибора, частоту измеряемой величины (не для частотомеров), напряженность внешнего магнитного (или электрического) поля, напряжение питания электронных и цифровых приборов и др.

В технической документации прибора указывают нормальный и рабочий диапазоны значений влияющих величин. Использование прибора при значении влияющей величины вне пределов рабочего диапазона не допускается.

Класс точности прибора устанавливают по форме:

предела абсолютной погрешности Δ пр = ± а или Δ пр = ± (а + b A);

предела относительной погрешности δ пр = ± p или δ пр = ± ;

предела приведенной погрешности γ пр = ± k

Числа a, b, p, c, d, k выбирают из ряда 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 10 n , где n = 1, 0, -1, -2 и т.д.

А – показания прибора;

А max – верхний предел используемого диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность

,

где А н – нормирующее значение, условно принятое для данного прибора, зависящее от формы шкалы.

Определение А н для наиболее часто встречающихся шкал приведены ниже:

а) односторонняя шкала б) шкала с нулем внутри

А н = А max A н = |A 1 | + A 2

в) шкала без нуля г) существенно неравномерная шкала (для омметров, фазометров)

А н = А 2 – А 1 А н = L

Правила и примеры обозначения классов точности приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Формула для предельной основной погрешности		Обозначение класса точности на приборе
		общий вид
Δ = ± (а + b A)	± а, ед. величины А ± (а + b A), ед. величины А	Римскими или латинскими буквами

В большинстве случаев числовые данные в задачах приближенные. В условиях задач могут встретиться и точные значения, например результаты счета небольшого числа предметов, некоторые константы и др.

Для обозначения приближенного значения числа употребляют знак приближенного равенства ; читают так: «приближенно равно» (не следует читать: «приблизительно равно»).

Выяснение характера числовых данных – важный подготовительный этап при решении любой задачи.

Приводимые ниже указания могут помочь в распознании точных и приближенных значений чисел:

Точные значения	Приближенные значения
1.Значения ряда переводных множителей перехода от одних единиц измерения к другим (1м = 1000 мм; 1ч = 3600 с) Многие переводные множители измерены и вычислены со столь высокой (метрологической) точностью, что практически их считают сейчас точными.	1. Большинство значений математических величин, заданных в таблицах (корни, логарифмы, значения тригонометрических функций, а также применяемые на практике значение числа и основания натуральных логарифмов (число е))
2.Масштабные множители. Если, например, известно, что масштаб равен 1:10000, то числа 1 и 10000 считают точными. Если указано, что в 1см – 4 м, то 1 и 4 – точные значения длины	2. Результаты измерений. (Некоторые основные константы: скорость света в вакууме, гравитационная постоянная, заряд и масса электрона и др.) Табличные значения физических величин (плотность вещества, температуры плавления и кипения и др.)
3.Тарифы и цены. (стоимость 1 кВт∙ч электроэнергии – точное значение цены)	3. Проектные данные также являются приближенными, т.к. их задают с некоторыми отклонениями, которые нормируются ГОСТами. (Например, по стандарту размеры кирпича: длина 250 6 мм, ширина 120 4 мм, толщина 65 3 мм) К этой же группе приближенных значений чисел относятся размеры, взятые с чертежа
4.Условные значения величин (Примеры: абсолютный нуль температуры -273,15 С, нормальное атмосферное давление 101325 Па)
5.Коэффициенты и показатели степени, встречающиеся в физических и математических формулах ( ; %; и т.д.).
6. Результаты счета предметов (количество аккумуляторов в батарее; число пакетов молока, выпущенных заводом и подсчитанных фотоэлектрическим счетчиком)
7. Заданные значения величин (Например, в задаче, «Найти периоды колебаний маятников длиной 1 и 4 м» числа 1 и 4 можно считать точными значениями длины маятника)

Выполните следующие задания, ответ оформите в виде таблицы:

1. Укажите, какие из приведенных значений точные, какие – приближенные:

1) Плотность воды (4 С)………..………………………..……………1000кг/м 3

2) Скорость звука (0 С)………………………………………………….332 м/с

3) Удельная теплоемкость воздуха….……………………………1,0 кДж/(кг∙К)

4) Температура кипения воды…………….……………………………….100 С

5) Постоянная Авогадро….…………………………………..…..6,02∙10 23 моль -1

6) Относительная атомная масса кислорода…………………………………..16

2. Найдите точные и приближенные значения в условиях следующих задач:

1) У паровой машины бронзовый золотник, длина и ширина которого соответственно 200 и 120 мм, испытывает давление 12 МПа. Найдите силу, необходимую для перемещения золотника по чугунной поверхности цилиндра. Коэффициент трения равен 0,10.

2) Определите сопротивление нити накала электрической лампы по следующим маркировочным данным: «220В, 60 Вт».

3. Какие ответы – точные или приближенные – получим при решении следующих задач?

1) Какова скорость свободно падающего тела в конце 15-й секунды, считая промежуток времени указанным точно?

2) Какова скорость шкива, если его диаметр 300 мм, частота вращения 10 об/с? Данные считайте точными.

3) Определите модуль силы . Масштаб 1 см – 50Н.

4) Определите коэффициент трения покоя для тела, находящегося на наклонной плоскости, если тело начинает равномерно скользить по наклону при = 0,675, где - угол наклона плоскости.

Введение

Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с .

· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)?10 ?23 Дж/К , что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488?10 ?23 ±0,000 0013?10 ?23 Дж/К .

Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приближённое значение

С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а , заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.

Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида

Да = А - а,

где А - соответствующее точное число.

Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.

Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.

Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.

В самых разнообразных теоретических и прикладных исследованиях широко используются методы математического моделирования, которые сводят решение задач данной области исследования к решению адекватных (или приближенно адекватных) им математических задач. Необходимо довести решение этих задач до получения числового результата (вычисления различного рода величин, решения различных типов уравнений и т.п.). Целью вычислительной математики является разработка алгоритмов численного решения обширного круга математических задач. Методы должны быть разработаны так, чтобы их можно было эффективно реализовать с помощью современной вычислительной техники. Как правило, рассматриваемые задачи не допускают точного решения, поэтому речь идет о разработке алгоритмов, дающих приближенное решение. Для возможности замены неизвестного точного решения задачи приближенным необходимо, чтобы последнее было достаточно близко к точному. В связи с этим возникает необходимость оценки близости приближенного решения к точному и разработки приближенных методов построения приближенных решений, сколько угодно близких к точным.

Схематически вычислительный процесс заключается в том, чтобы для данной величины x (числовой, векторный и т.д.) вычислить значение некоторой функции A(x) . Разность между точным и приближенным значениями величины называют погрешностью . Точное вычисление значения A(x) обычно невозможно, и вынуждает заменить функцию (операцию) A ее приближенным представлением Ã , которое можно вычислить: вычисление величины A(x) , заменяется вычислением- Ã(x) A(x) - Ã(x) называют погрешностью метода . Способ оценки этой погрешности должен быть разработан вместе с разработкой метода вычисления величины Ã(x) . Из возможных методов построения приближения следует использовать тот, который при имеющихся средствах и возможностях дает наименьшую погрешность.

Значение величины x , то есть исходных данных, в реальных задачах получается или непосредственно из измерений, или в результате предыдущего этапа вычислений. В этих случаях определяется лишь приближенное значение x o величины x . Поэтому вместо величины Ã(x) может быть вычислено лишь приближенное ее значение Ã(x o) . Возникающую при этом погрешность A(x) - Ã(x o) называют неустранимой . В результате неизбежных в ходе вычислений округлений, вместо величины Ã(x o) вычисляется ее «округленное» значение , что приводит к появлению погрешности округления Ã(x o) - . Полная погрешность вычислиниия оказывается равной A(x) - .

Представим полную погрешность в виде

A(x) - = [A(x) - ] + [ - Ã(x o) ] +

+ [Ã(x o) - ] (1)

Последнее равенство показывает, что полная погрешность вычисления равна сумме погрешности метода, неустранимой погрешности и погрешности округления. Первые две составляющие погрешности можно оценить до начала вычислений. Погрешность округления оценивается лишь в ходе вычислений.

Рассмотрим следующие задачи:

а) характеристика точности приближенных чисел

б) оценка точности результата при известной точности исходных данных (оценка неустранимой погрешности)

в) определение необходимой точности исходных данных для обеспечения заданной точности результата

г) согласование точности исходных данных и вычислений с возможностями имеющихся вычислительных средств.

4 Погрешности измерений

4.1 Истинные и действительные значения физических величин. Погрешность измерения. Причины возникновения погрешностей измерений

При анализе измерений следует четко разграничивать два понятия: истинные значения физических величин и их эмпирические проявления - результаты измерений.

Истинные значения физических величин - это значения, идеальным образом отражающие свойства данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении. Они не зависят от средств измерений и являются той абсолютной истиной, к которой стремятся при измерениях.

Напротив, результаты измерений являются продуктами познания. Представляя собой приближенные оценки значений величин, найденные в результате измерений, они зависят от метода измерений, от средств измерений и других факторов.

Погрешностью измерения называется разница между результатом измерения х и истинным значением Q измеряемой величины:

Δ= x – Q (4.1)

Но поскольку истинное значение Q измеряемой величины неизвестно, то для определения погрешности измерения в формулу (4.1) вместо истинного значения подставляют так называемое действительное значение.

Под действительным значением измеряемой величины понимается ее значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него.

Причинами возникновения погрешностей являются: несовершенство методов измерений, средств измерений и органов чувств наблюдателя. В отдельную группу следует объединить причины, связанные с влиянием условий проведения измерений. Последние проявляются двояко. С одной стороны, все физические величины, играющие какую-либо роль при проведении измерений, в той или иной степени зависят друг от друга. Поэтому с изменением внешних условий изменяются истинные значения измеряемых величин. С другой стороны, условия проведения измерений влияют и на характеристики средств измерений и физиологические свойства органов чувств наблюдателя и через их посредство становятся источником погрешностей измерений.

4.2 Классификация погрешностей измерений в зависимости от характера их изменения

Описанные причины возникновения погрешностей являются совокупностью большого числа факторов, под влиянием которых складывается суммарная погрешность измерения. Их можно объединить в две основные группы.

К первой группе можно отнести факторы, проявляющиеся нерегулярно и неожиданно исчезающие или проявляющиеся с интенсивностью, которую трудно предвидеть. К ним относятся, например, малые флуктуации влияющих величин (температуры, давления окружающей среды и т.п.). Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения, возникающая под действием факторов этой группы, определяет случайную погрешность измерения.

Таким образом, случайная погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

При создании средств измерений и организации процесса измерения в целом интенсивность проявления факторов, определяющих случайную погрешность измерения, удается свести к общему уровню, так что все они влияют более или менее одинаково на формирование случайной погрешности. Однако некоторые из них, например, внезапное падение напряжения в сети электропитания, могут проявиться неожиданно сильно, в результате чего погрешность примет размеры, явно выходящие за границы, обусловленные ходом измерительного эксперимента. Такие погрешности в составе случайной погрешности называются грубыми . К ним тесно примыкают промахи - погрешности, зависящие от наблюдателя и связанные с неправильным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом показаний или ошибками при записи результатов.

Ко второй группе можно отнести факторы, постоянные или закономерно изменяющиеся в процессе измерительного эксперимента, например, плавные изменения влияющих величин. Составляющая суммарной погрешности изме­рения, возникающая под действием факторов этой группы, определяет система­тическую погрешность измерения.

Таким образом, систематическая погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.

В процессе измерения описанные составляющие погрешности проявляются одновременно, и суммарную погрешность можно представить в виде суммы

, (4.2)

где - случайная,a Δ s - систематическая погрешности.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величин, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной с последующей обработкой опытных данных. Поэтому большое значение имеет изучение погрешности как функции номера наблюдения, т.е. времени A (t). Тогда отдельные значения погрешностей можно будет трактовать как набор значений этой функции:

Δ 1 = Δ(t 1), Δ 2 = Δ(t 2),..., Δ n = Δ(t n).

В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя сказать, какое значение она примет в момент времени t i . Можно указать лишь вероятности появления ее значений в том или ином интервале. В серии экспериментов, состоящих из ряда многократных наблюдений, мы получаем одну реализацию этой функции. При повторении серии при тех же значениях величин, характеризующих факторы второй группы, неизбежно получаем новую реализацию, отличающуюся от первой. Реализации отличаются друг от друга из-за влияния факторов первой группы, а факторы второй группы, одинаково проявляющиеся при получении каждой реализации, придают им некоторые общие черты (рисунок 4.1).

Погрешность измерений, соответствующая каждому моменту времени t i , на­зывается сечением случайной функции Δ(t). В каждом сечении можно найти среднее значение погрешности Δ s (t i), относительно которого группируются погрешности в различных реализациях. Если через полученные таким образом точки Δ s (t i) провести плавную кривую, то она будет характеризовать общую тенденцию изменения погрешности во времени. Нетрудно заметить, что средние значения Δ s (tj) определяются действием факторов второй группы и представляют собой систематическую погрешность измерения в момент времени t i , а отклонения Δ j (t j) от среднего значения в сечении t i , соответствующие j-й реализации, дают значение случайной погрешности. Таким образом, имеет место равенство

(4.3)

Рисунок 4.1

Предположим, что Δ s (t i) = 0, т.е. систематические погрешности тем или иным способом исключены из результатов наблюдений, и будем рассматривать только случайные погрешности, средние значения которых равны нулю в каждом сечении. Предположим, что случайные погрешности в различных сечениях не зависят друг от друга, т.е. знание случайной погрешности в одном сечении не дает нам никакой дополнительной информации о значении, принимаемом этой реализацией в любом сечении, и что все теоретико-вероятностные особенности случайных погрешностей, являющихся значениями одной реализации во всех сечениях, совпадают между собой. Тогда случайную погрешность можно рассматривать как случайную величину, а ее значения при каждом из многократных наблюдений одной и той же физической величины – как результаты независимых наблюдений над ней.

В таких условиях случайная погрешность измерений определяется как разность между исправленным результатом измерения Х И (результатом, не содержащем систематическую погрешность) и истинным значением Q измеряемой величины:

Δ = X И –Q 4.4)

причем исправленным будет результат измерений, из которого будут исключены систематические погрешности.

Подобные данные получают обычно при поверке средств измерений путем измерения заранее известных величин. При проведении же измерений целью является оценка истинного значения измеряемой величины, которое до опыта неизвестно. Результат измерения включает в себя помимо истинного значения еще и случайную погрешность, следовательно, сам является случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому неясно, какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при обработке результатов наблюдений методы математической статистики, имеющие дело именно со случайными величинами.

4.3 Классификация погрешностей измерений в зависимости от причин их возникновения

В зависимости от причин возникновения различают следующие группы погрешностей: методические, инструментальные, внешние и субъективные.

Во многих методах измерений можно обнаружить методическую погрешность ,являющуюся следствием тех или иных допущений и упрощений, применения эмпирических формул и функциональных зависимостей. В некоторых случаях влияние таких допущений оказывается незначительным, т.е. намного меньше, чем допускаемые погрешности измерений; в других случаях оно превышает эти погрешности.

Примером методических погрешностей являются погрешности метода измерений электрического сопротивления при помощи амперметра и вольтметра (рисунок 4.2). Если сопротивление R x определять по формуле закона Ома R x =U v /I a , где U v - падение напряжения, измеренное вольтметром V; I а - сила тока, измеренная амперметром А, то в обоих случаях будут допущены методические погрешности измерений.

На рисунке 4.2,а сила тока I а, измеренная амперметром, будет больше силы тока в сопротивлении R x на значение силы тока I v в вольтметре, включаемом параллельно сопротивлению. Сопротивление R x , вычисленное с помощью приведенной формулы, окажется меньше действительного. На рисунке 4.2,6 напряжение, измеренное вольтметром V, окажется больше падения напряжения U r в сопротивлении R x на значение U a (падение напряжения на сопротивлении амперметра А). Сопротивление, вычисленное по формуле закона Ома, окажется больше сопротивления R x на значение R a (сопротивление амперметра). Поправки в обоих случаях можно легко вычислить, если знать сопротивление вольтметра и амперметра. Поправки можно не вносить в том случае, если они значительно меньше допускаемой погрешности измерения сопротивления R x , например, если в первом случае сопротивление вольтметра значительно б

ОльшеR x , а во втором случае R a значительно меньше R x .

Рисунок 4.2

Другим примером появления методической погрешности является измерение объема тел, форма которых принимается геометрически правильной, путем измерения размеров в одном или в недостаточном числе мест, например, измерение объема помещения путем измерения длины, ширины и высоты только в трех направлениях. Для точного определения объема следовало бы определить длину и ширину помещения по каждой стене, вверху и внизу, измерить высоту по углам и в середине и, наконец, углы между стенами. Этот пример иллюстрирует возможность появления существенной методической погрешности при не­обоснованном упрощении метода.

Как правило, методическая погрешность является систематической погрешностью.

Инструментальная погрешность - это составляющая погрешности из-за несовершенства средств измерений. Классическим примером такой погрешно­сти является погрешность измерительного прибора, вызванная неточной гра­дуировкой его шкалы. Очень важно четко разграничивать погрешности измере­ний и инструментальные погрешности. Несовершенство средств измерений яв­ляется лишь одним из источников погрешности измерения и определяет только одну из ее составляющих − инструментальную погрешность. В свою очередь инструментальная погрешность является суммарной, составляющие которой − погрешности функциональных узлов − могут быть как систематическими, так и случайными.

Внешняя погрешность - составляющая погрешности измерения, вызывае­мая отклонением одной или нескольких влияющих величин от нормальных значений или выходом их за пределы нормальной области (например, влияние температуры, внешних электрических и магнитных полей, механических воздействий и т.п.). Как правило, внешние погрешности определяются дополнительными погрешностями применяемых средств измерений и являются систематическими. Однако при нестабильности влияющих величин они могут стать случайными.

Субъективная (личная) погрешность обусловлена индивидуальными особенностями экспериментатора и может быть как систематической, так и случайной. При применении современных цифровых средств измерений субъективной погрешностью можно пренебречь. Однако при отсчете показаний стрелочных приборов такие погрешности могут быть и значительными из-за неправильного отсчета десятых долей деления шкалы, асимметрии, возникающей при установке штриха посередине между двумя рисками, и т.п. Например, погрешности, которые делает экспериментатор при оценивании десятых долей деления шкалы прибора, могут достигать 0,1 деления. Эти погрешности проявляются в том, что для разных десятых долей деления разным экспериментаторам свойственны различные частоты оценок, причем каждый экспериментатор сохраняет присущее ему распределение в течение длительного времени. Так, один экспериментатор чаще, чем следует, относит показания к линиям, обра­зующим края деления, и к значению 0,5 деления. Другой - к значениям 0,4 и 0,6 деления. Третий предпочитает значения 0,2 и 0,8 деления и т.д. В целом, имея в виду случайного экспериментатора, распределение погрешностей отсчитывания десятых долей деления можно считать равномерным с границами ±0,1 деления.

4.4 Формы представления погрешности измерения. Точность измерений

Погрешность измерения может быть представлена в форме абсолютной погрешности, выражаемой в единицах измеряемой величины и определяемой по формуле (4.1), или относительной погрешности, определяемой как отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

δ = Δ/Q. (4.5)

В случае выражения случайной погрешности в процентах, отношение Δ/Q умножается на 100 %. Кроме того, в формуле (4.5) допускается вместо истинного значения Q использовать результат измерения х.

Широко применяется также понятие точность измерений − характеристика, отражающая близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Другими словами, высокая точность соответствует малым погрешностям измерений. Поэтому количественно точность измерений можно оценить величиной, обратной модулю относительной погрешности

3.2. Округление

Одним из источников получения приближенных чисел является о кругление. Округляют как точные, так и приближенные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путемотбрасывания всех его цифр, записанныхправее цифры этого разряда, или путем замены его нулями. Этинули обычноподчеркивают или пишут их меньшими . Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такимиправилами :

чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:

1 ) если первая (слева) из отбрасываемых цифрменее 5 , то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление снедостатком );

2 ) если первая отбрасываемая цифрабольше 5 или равна 5 , то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление сизбытком ).*

Например :

Округлить :Ответы:

а ) до десятых 12,34; 12,34 ≈ 12,3;

б ) до сотых 3,2465; 1038,785; 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

в ) до тысячных 3,4335; 3,4335 ≈ 3,434;

г ) до тысяч 12 375, 320 729. 12 375 ≈ 12000 ; 320 729 ≈ 321 000.

(* Несколько лет назад в случае отбрасывания одной лишь цифры 5 пользовались«правилом четной цифры»: последнюю цифру оставляли без изменения, если она четная, и увеличивали на единицу, если нечетная. Теперь «правила четной цифры»не придерживаются: если отбрасывают одну цифру5 , то к последней оставленной цифре добавляют единицу не зависимо от того, четная она или нечетная).

3.3. Абсолютная и относительная погрешность приближенного значения величин

Абсолютное значение разности между приближенным и точным (истинным) значением величины называетсяабсолютной погрешностью приближенного значения.Например , если точное число1,214 округлить до десятых, то получим приближенное число1,2 . В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа составит1,214 – 1,2 = 0,014 .

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу , которую она не превышает. Это число называютграничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность.Например , число23,71 есть приближенное значение числа23,7125 с точностью до0,01 , так как абсолютная погрешность приближения равна0,0025 и меньше0,01 . Здесь граничная абсолютная погрешность равна0,01 .*

(* Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной.Например ,1,68 ≈ 1,7 . Абсолютная погрешность равна1,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Граничная погрешность всегда положительна).

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа «а » обозначают символомΔ а . Запись

Х ≈ а (Δа)

следует понимать так: точное значение величины х находится в промежутке между числамиа +Δ а и а –Δ а, которые называют соответственнонижней иверхней границей х и обозначаютН Гх иВ Гх .

Например , еслих ≈ 2,3 ( 0,1), то2,2 < х < 2,4 .

Наоборот, если 7,3 < х < 7,4 , тох ≈ 7,35 ( 0,05).

Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризуют качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина.

Например , если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого измерения, в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой.

Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называютграничной относительной погрешностью ; обозначают её так:Δ а/а . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражатьв процентах .

Например , если измерения показали, что расстояние между двумя пунктами больше12,3 км , но меньше12,7 км , то заприближенное значение его принимаютсреднее арифметическое этих двух чисел, т.е. ихполусумму , тогдаграничная абсолютная погрешность равнаполуразности этих чисел. В данном случаех ≈ 12,5 ( 0,2). Здесь граничнаяабсолютная погрешность равна0,2 км , а граничнаяотносительная:

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютной погрешностью измерения называется величина, определяемая разницей между результатом измерения x и истинным значением измеряемой величины x 0:

Δx = |x – x 0 |.

Величина δ, равная отношению абсолютной погрешности измерения к результату измерения, называется относительной погрешностью:

Пример 2.1. Приближённым значением числа π является 3.14. Тогда погрешность его равна 0.00159… . Абсолютную погрешность можно считать равной 0.0016, а относительную погрешность равной 0.0016 / 3.14 = 0.00051 = 0.051 %.

Значащие цифры. Если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда последней цифры числа a, то говорят, что у числа все знаки верные. Приближённые числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52 400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 · 10 2 или 0.524 · 10 5. Оценить погрешность приближённого числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчёте значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа.

Например, число 0.0283 имеет три верных значащих цифры, а 2.5400 – пять верных значащих цифр.

Правила округления чисел . Если приближённое число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры (d ) округлённого числа. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причём если первая отбрасываемая цифра больше или равна d /2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются (как и лишние нули). Например, если погрешность измерения 0.001 мм, то результат 1.07005 округляется до 1.070. Если первая из изменяемых нулями и отбра­сываемых цифр меньше 5, остающиеся цифры не изменяются. Например, число 148 935 с точностью измерения 50 имеет округление 148 900. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр или идут нули, то округление производится до ближайшего чётного числа. Например, число 123.50 округляется до 124. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. Например, число 6783.6 округляется до 6784.

Пример 2.2. При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 – 1284 = 16, а при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280 – 1284 = 4.

Пример 2.3. При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0.01523 или приближённо 3/200 ≈ 1.5 %.

Пример 2.4. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая – 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 = 1.4 %.

Погрешности решения задачи на PC

В качестве основных источников погрешности обычно рассматривают три вида ошибок. Это так называемые ошибки усечения, ошибки округления и ошибки распространения. Например, при использовании итерационных методов поиска корней нелинейных уравнений результаты являются приближёнными в отличие от прямых методов, дающих точное решение.

Ошибки усечения

Этот вид ошибок связан с погрешностью, заложенной в самой задаче. Он может быть обусловлен неточностью определения исходных данных. Например, если в условии задачи заданы какие-либо размеры, то на практике для реальных объектов эти размеры известны всегда с некоторой точностью. То же самое касается любых других физических параметров. Сюда же можно отнести неточность расчётных формул и входящих в них числовых коэффициентов.

Ошибки распространения

Данный вид ошибок связан с применением того или иного способа решения задачи. В ходе вычислений неизбежно происходит накопление или, иначе говоря, распространение ошибки. Помимо того, что сами исходные данные не являются точными, новая погрешность возникает при их перемножении, сложении и т. п. Накопление ошибки зависит от характера и количества арифметических действий, используемых в расчёте.

Ошибки округления

Это тип ошибок связан с тем, что истинное значение числа не всегда точно сохраняется компьютером. При сохранении вещественного числа в памяти компьютера оно записывается в виде мантиссы и порядка примерно так же, как отображается число на калькуляторе.