Математическое моделирование в экономике примеры. Математические методы в экономике
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
ВВЕДЕНИЕ
Удивительно высокая эффективность математики в естественных и технических науках постоянно подтверждается всей практической деятельностью человека. Наиболее грандиозные технические проекты XX и начала XXI века без использования мощного математического инструментария не могли бы быть осуществлены в современном виде и качестве при минимальном количестве катастрофических ошибок. Для экономических наук и экономики вообще дело обстоит сложнее. Однако, даже самый общий взгляд на проблему приводит к осознанию того, что тезис о возможной высокой эффективности математики в экономике является вполне естественными и логичным, так как вся математика изначально и многие её разделы в последствий, своим происхождением и развитием обязаны именно практической, хозяйственной, экономической жизни общества.
В то же время, справедливость общих положений ещё не означает их безусловного приоритета в каждом конкретном случае, а любой метод в любой области знания имеет свою сферу применения, подчас весьма ограниченную. Поэтому, не следует преувеличивать и тем более абсолютизировать роль математических методов и математики вообще, что и вызывает у обучающихся негативное отношение к предмету: существует широкий класс экономических структур, управление которыми осуществляется на интуитивном уровне без какого-либо использования математических моделей и методов и даёт вполне приемлемые результаты. Таким структурам относятся отдельные предприятия мелкого масштаба. Применение математики в организациях такого типа сводится к элементарным арифметическим расчётам в рамках задач бухгалтерского учёта, что создаёт и укрепляет иллюзию возможности успешного управления любыми экономическими системами без использования какой-либо серьёзной математики вообще.
Однако такая точка зрения является излишне упрощённой.
Математическая модель объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, условный образ объекта, созданный для упрощения его исследования, получения о нём новых знаний, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях.
Экономико-математическое моделирование , являясь одним из эффективных методов описания сложных социально-экономических объектов и процессов в виде математических моделей, превращается тем самым в часть самой экономики, вернее сплав экономики, математики и кибернетики.
В составе экономико-математических методов можно выделить следующие научные дисциплины и их раздели:
Экономическая кибернети ка (системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем);
Математическая статистика (дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, кластерный анализ, частотный анализ, теория индексов и др.);
Математическая экономика и эконометрика (теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.);
Методы принятия оптимальных решений (математическое программирование, сетевые и программно-целевые методы планировании и управления, теория массового обслуживания, теория и методы управления запасами, теория игр, теория и методы принятия решений, теория расписаний и др.);
Специфические методы и дисциплины (модели свободной конкуренции, модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и др.);
Экспериментальные методы изучения экономики (математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, имитационное моделирование, деловые игры, методы экспертных оценок и др.).
Экономико-математические модели можно классифицировать по следующим основным признакам
По общему целевому назначению – теоретико-аналитические и прикладные модели ;
По степени агрегирования объектов – микроэкономические и макроэкономические модели ;
По конкретному предназначению – балансовые (требование соответствия наличия ресурсов и их использования), трендовые (развитие моделируемой системы через длительную тенденцию её основных параметров), оптимизационные, имитационные (в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) модели ;
По типу информации, используемой в модели, - аналитические и идентифицируемые (на базе апостериорной, экспериментальной информации) модели ;
По учёту фактора неопределённости – детерминированные и стохастические модели ;
По характеристике математических объектов или аппарата – матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т. п. ;
По типу подхода к изучаемым системам – дескриптивные (описательные) модели (например, балансовые и трендовые) и нормативные модели (например, оптимизационные модели и модели уровня жизни).
Также по используемому инструментарию можно выделить равновесные, статические, динамические, непрерывные и другие модели.
Теоретические модели на базе априорной информации отображают общие свойства экономики и её компонентов с дедукцией выводов из формальных предпосылок.
Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономических объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений.
Макроэкономические модели обычно описывают экономику страны ка единое целое, связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость, бюджет, инфляцию, ценообразование и др.
Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их автономное поведение в переходной неустойчивой или стабильной рыночной среде, стратегии поведения фирм в условиях олигополии с использованием методов оптимизации и теории игр и т. п.
Оптимизационные модели связаны в основном с микроуровнем, на макроуровне результатом рационального выбора поведения становится некоторое состояние равновесия.
Детерминированные модели предполагают жёсткие функциональные связи между переменными модели, а стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарии теории вероятностей и математической статистики для их описания.
Равновесные модели, присущие рыночной экономике, описывающие поведение субъектов хозяйствования как в стабильных устойчивых состояниях, так и в условиях нерыночной экономики, где неравновесие по одним параметрам компенсируется другими факторами.
Статические модели описывают состояние экономического объекта в конкретный текущий момент или период времени; динамические модели, напротив, включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике.
К числу сложной комбинированной экономико-математической модели, например, можно отнести экономико-математическую модель межотраслевого баланса , являющуюся прикладной, макроэкономической, аналитической, дескриптивной, детерминированной, балансовой, матричной моделью, причём выделяют как статические, так и динамические модели межотраслевого баланса.
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
§ 1. Основные понятия и определения
Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся теорией и методами решения многомерных экстремальных задач на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).
В общем виде задача математического программирования формулируется следующим образом: найти наименьшее (или наибольшее) значение функции при ограничениях
где
и
– заданные функции, а
– некоторые постоянные числа.
В
зависимости от свойств функции
и
математическое программирование делится
на ряд самостоятельных дисциплин. Прежде
всего это линейное программирование.
К задачамлинейного
программирования
(ЛП) относятся задачи математического
программирования, в которых функции
и
Для решения задач линейного программирования существуют универсальные методы, с помощью которых можно решить любую задачу линейного программирования.
Рассмотрим основную задачу линейного программирования.
(1.2)
Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.2) найти такое решение, при котором функция (1.1) принимает минимальное значение .
канонической или основной задачей линейного программирования (ЗЛП).
Условия неотрицательности решения системы (1.2), если они не оговорены в формулировке задачи, записываются в виде
Функцию (1.1) называют целевой функцией (ЦФ), а условия (1.2) – ограничениями-равенствами .
Всякое неотрицательное решение системы (1.2) называется допустимым решением или планом задачи.
Совокупность допустимых решений системы (1.2) называется областью допустимых решений (ОДР).
Допустимое решение системы (1.2), минимизирующее функцию (1.1), называется оптимальным решением или оптимальным планом ЗЛП.
Значение целевой функции (1.1), отвечающее оптимальному решению, называется оптимумом .
Если в задаче линейного программирования необходимо найти максимум функции , то максимизацию этой функции можно заменить минимизацией противоположной функции .
Рассмотрим другую задачу линейного программирования.
Пусть заданы линейная функция
и система линейных уравнений снеизвестными
(1.5)
где ,и– заданные постоянные числа.
Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.5) найти такое решение, которое минимизирует функцию (1.4) .
Сформулированная задача называется стандартной или симметричной задачей линейного программирования .
Условия (1.5) называются ограничениями-неравенствами .
Стандартную задачу линейного программирования нетрудно привести к каноническому виду, заменив неравенства в системе (1.5) равенствами с помощью введения новых неотрицательных неизвестных .
§ 2. Простейшие задачи линейного программирования
Задача о наилучшем использования ресурсов .
Для трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Предприятие может израсходовать 32 т сырья, не менее 40 т сырьяи не более 50 т сырья. Нормы расхода сырья на единицу продукции того или иного вида, а также трудовые и энергетические затраты на производство единицы продукции, и приведены в таблице.
|
Запасы (т) |
Нормы расхода на единицу продукции (т) |
|||
|
Расходы (руб.) | ||||
Определить количества продукции видов ,и, которые следует производить при минимальных затратах энергетических и трудовых ресурсов.
Для построения математической модели задачи обозначим через количества продукции видов , и соответственно, которые предполагается производить. Тогда целевую функцию и ограничения задачи можно записать в виде
Как видим, математическая модель задачи сводится к минимизации некоторой линейной функции при ограничениях. Записанных в виде равенств и неравенств.
Задача о максимальном доходе производственного предприятия .
При производстве трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Запасы каждого вида сырья составляют 32 т, 40 т и 50 т соответственно. Количество единиц сырья, необходимого для изготовления единицы продукции, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида приведены в таблице.
|
Запасы (т) |
Виды продукции |
|||
|
Прибыль (руб.) | ||||
Требуется составить план выпуска продукции , и, при котором прибыль от реализации всей продукций была бы максимальной.
Обозначим через количества единиц продукции видов , и, которую необходимо производить.
Математическая модель данной задачи имеет вид
Таким образом, надлежит найти такой набор неотрицательных чисел , удовлетворяющий полученной системе ограничений-неравенств, который доставляет максимальное значение целевой функции .
Задача о рационе питания .
Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен употребить в пищу в течение суток определённое количество белков, жиров, углеводов, витаминов, микроэлементов и др.
Пусть имеется три вида продуктов ,и и перечень из необходимых питательных веществ и. Количество питательных веществ, содержащегося в единице продукта, а также стоимости единиц продуктов приведены в таблице.
|
Питательные вещества |
Суточная Потребность 1 человека |
Виды продукции |
||
|
Стоимость 1 единицы продукта (руб.) | ||||
Требуется организовать питание так, чтобы удовлетворялась норма потребности в питательных веществах и чтобы стоимость использованных продуктов была минимальной.
Обозначим через количества единиц продуктов видов , и.
Математическая модель данной задачи будет иметь вид
Математические методы в экономике являются важным инструментом проведения анализа. Их используют в построении теоретических моделей, которые позволяют отобразить имеющиеся связи в повседневной жизни. Также с помощью данных методов достаточно точно прогнозируется поведение субъектов хозяйствования и динамика экономических показателей в стране.
Более подробно хотелось бы остановиться на прогнозировании показателей экономических объектов, которое является инструментом теории принятия решений. Прогнозы социально-экономического развития любой страны основываются на определенных показателей (динамика инфляции, валовый внутренний продукт и т.д.). Формирование ожидаемых показателей осуществляется с применением таких методов прикладной статистики и эконометрики, как регрессионный и корреляционный анализ.
Отрасль исследования «Экономика и математические методы» всегда являлась достаточно интересной для ученых этой сферы. Так, академиком Немчиновым было выделено пять математических при планировании и прогнозировании:
Метод математического моделирования;
Векторно-матричный метод;
Метод последовательного приближения;
Метод оптимальных общественных оценок.
Другой же академик, Канторович, математические методы распределил на четыре группы:
Модели взаимодействия экономических подразделений;
Макроэкономические модели, включающие модели спроса и балансовый метод;
Модели оптимизации;
Линейное моделирование.
Систем применяется с целью принятия эффективного и правильного решения в экономической сфере. При этом в основном используется современная вычислительная техника.
Сам процесс моделирования должен осуществляться в таком порядке:
1. Постановка задачи. Необходимо четко сформулировать задачу, определить объекты, относящиеся к решаемой задаче, и ситуацию, реализуемую в результате ее решения. Именно на этом этапе производится количественный и субъектов, объектов и имеющих отношение к ним ситуаций.
2. Системный анализ задачи. Все объекты необходимо разбить на элементы с определением связи между ними. Именно на этом этапе лучше всего использовать математические методы в экономике, с помощью которых проводится количественный и качественный анализ свойств вновь образованных элементов и в результате которых выводятся определенные неравенства и уравнения. Другими словами, получается система показателей.
3. Системный синтез представляет собой математическую постановку задачи, во время организации которой формируется математическая модель объекта и определяются алгоритмы решения задачи. На этом этапе существует вероятность того, что принятые модели предыдущих этапов могут оказаться неверными, и для получения верного результата придется вернуться на один, а то и два шага назад.
Как только математическая модель сформирована, можно переходить к разработке программы для решения поставленной задачи на ЭВМ. При наличии достаточно сложного объекта, который состоит из большого количества элементов, потребуется создание базы данных и подручных средств для работы с ней.
Если же задача принимает стандартный вид, то используются любые подходящие математические методы в экономике и готовый программный продукт.
Заключительным этапом является непосредственная эксплуатация сформированной модели и получение правильных результатов.
Математические методы в экономике должны использоваться именно в определенной последовательности и с применением современных информационно-вычислительных технологий. Только в таком порядке появляется возможность исключить субъективные волевые решения, основанные на личной заинтересованности и эмоциях.
Модель – это, прежде всего, упрощенное представление реального объекта или явления, сохраняющее его основные, существенные черты. Сам процесс разработки модели, т.е. моделирование, может быть осуществлен различными способами, из которых наиболее распространено физическое и математическое моделирование. Однако каждым из этих способов могут быть получены различные модели, поскольку их конкретная реализация зависит от того, какие именно черты реального объекта создатель модели считает основными, главными. Поэтому в инженерной практике и в научных исследованиях могут применяться различные модели одного и того же объекта, поскольку их многообразие позволяет тщательнее изучать самые различные стороны реального объекта или явления.
В инженерной практике и естественных науках широко распространены физические модели, которые отличаются от изучаемого объекта, как правило, меньшими размерами, и служат для проведения экспериментов, результаты которых используются для изучения исходного объекта и для выводов о выборе того или иного варианта его развития либо конструкции, если речь идет о проекте инженерного сооружения. Путь физического моделирования оказывается малопродуктивным для анализа экономических объектов и явлений. В связи с этим основным способом моделирования в экономике является метод математического моделирования , т.е. описание основных особенностей реального процесса с помощью системы математических формул.
Как мы действуем, создавая математическую модель? Какими бывают математические модели? Какие особенности возникают при моделировании экономических явлений? Попытаемся прояснить эти вопросы.
При создании математической модели исходят из реальной задачи. Вначале уясняется ситуация, выявляются важные и второстепенные характеристики, параметры, свойства, качества, связи и т.д. Затем выбирается одна из существующих математических моделей либо создается новая математическая модель для описания изучаемого объекта.
Вводятся обозначения. Записываются ограничения, которым должны удовлетворять переменные величины. Определяется цель – выбирается целевая функция (если это возможно). Не всегда выбор целевой функции однозначен. Возможны ситуации, когда хочется и того, и этого, и еще многого другого… Но различные цели приводят к различным решениям. В этом случае задача относится к классу многокритериальных задач.
Экономика – одна из сложнейших областей деятельности. Экономические объекты могут описываться сотнями, тысячами параметров, многие из которых носят случайный характер. Кроме того, в экономике действует человеческий фактор.
Предсказать поведение человека бывает трудно, подчас невозможно.
Сложность системы любой природы (технической, биологической, социальной, экономической) определяется количеством входящих в нее элементов, связями между
этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природной средой, экономической деятельностью других субъектов, социальными отношениями и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Экономика зависит от социального устройства общества, от политики и еще от многих и многих факторов.
Сложностью экономических отношений нередко обосновывали невозможность моделирования экономики, изучения ее средствами математики. И все же моделирование экономических явлений, объектов, процессов возможно. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. Для моделирования экономики применяют не одну модель, а систему моделей. В этой системе есть модели, описывающие разные стороны экономики. Есть модели экономики страны (их называют макроэкономическими), есть модели экономических моделей на отдельно предприятии или даже модель одного экономического события (их называют микроэкономическими). При составлении модели экономики сложного объекта производят так называемое агрегирование. При этом ряд родственных параметров объединяют в один параметр, тем самым общее количество параметров уменьшается. На этом этапе важную роль играют опыт и интуиция. В качестве параметров можно выбрать не все характеристики, а наиболее важные.
После того, как составлена математическая задача, выбирается способ ее решения. На этом этапе, как правило, применяют ЭВМ. После получения решения происходит его сопоставление с реальностью. Если полученные результаты подтверждаются практикой, то модель можно применять и с ее помощью строить прогнозы. Если же ответы, полученные на основе модели, не соответствуют действительности, то модель не годится. Нужно создавать более сложную модель, которая лучше соответствует изучаемому объекту.
Какая модель лучше: простая или сложная? Ответ на этот вопрос не может быть однозначным.
Если модель слишком простая, то она плохо соответствует реальному объекту. Если же модель слишком сложная, то может оказаться так, что при существовании хорошей модели мы не в состоянии на ее основе получить ответ. Может существовать хорошая модель и иметься алгоритм решения соответствующей задачи. Но время решения окажется настолько большим, что все остальные достоинства модели этим будут перечеркнуты. Поэтому при выборе модели нужна «золотая середина».
При построении экономических моделей выявляются существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.
К экономическим моделям могут относится модели:
- экономического роста
- потребительского выбора
- равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.
Модель — это логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса.
Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.
Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.
Экономико-математическая модель
В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.
Основные типы моделейЭкономико-математическая модель (ЭММ) — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.
- Экстраполяционные модели
- Факторные эконометрические модели
- Оптимизационные модели
- Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)
- Экспертные оценки
- Теория игр
- Сетевые модели
- Модели систем массового обслуживания
Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе
R a = ЧП / ВА + ОА ,
В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:
Итак, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.
После этого нужно выбрать способ решения этой модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с этими способами и методами в экономическом анализе используются и специфически математические способы и методы.
Интегральный метод экономического анализа
Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.
В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода этот прирост делится поровну между всеми факторами.
Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.
Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.
В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов
d y / d x = const
При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.
Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:
ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y
Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y
При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:
Z=x /y ;
Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0
Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)
Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.
Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.
Метод логарифмирования
Кроме этого метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.
В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .
Найдем влияние каждого из этих факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:
Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)
Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:
Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)
Наконец, для того, чтобы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:
Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)
Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.
При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.
Метод дифференциального исчисления
При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по которой определена эта производная. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.
Задана функция Z = f(x,y) . Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:
Поясним отдельные элементы этой формулы:
ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;
Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;
Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;
- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем
В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:
ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.
Сумма влияния обоих этих факторов — это главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.
Способ долевого участия
В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.
Предположим, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:
Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy
Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:
Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy
Наконец, для фактора с имеем:
Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy
Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.
Метод линейного программирования
См.далее:Теория массового обслуживания
См.далее:Теория игр
Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда относятся такие ситуации, которые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.
Для решения подобных задач в теории игр используются алгебраические методы, которые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.
Одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, является так называемый анализ чувствительности. Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.
В целях оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации необходимо заранее предусматривать те изменения, которые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.
Например, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, которые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.
Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на этот показатель, изменится.
Так, например, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж. Остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, являются при этом неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на этот показатель.
Матричный метод
Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.
Метод сетевого планирования
См.далее:Экстраполяционный анализ
Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Он включает в себя рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик этой системы на будущие периоды. В процессе осуществления этого вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров этих функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.
В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, которые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.
МПС Российской федерации
Уральский Государственный Университет Путей Сообщения
Челябинский Институт Путей Сообщения
КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу: “Экономико-математическое моделирование"
Тема: “Математические модели в экономике"
Выполнил:
Шифр:
Адрес:
Проверил:
Челябинск 200_ г.
Введение
Составление математической модели
Создание и сохранение отчетов
Анализ найденного решения. Ответы на вопросы
Часть № 2 "Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса
Решение задачи на компьютере
Межотраслевой баланс производства и распределения продукции
Литература
Введение
Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.
Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.
Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.
Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.
Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.
Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.
Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.
Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.
Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:
Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы.
Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи, стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.
Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.
На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.
Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:
2. Системный анализ.
3. Системный синтез (математическая постановка задачи)
4. Разработка или выбор программного обеспечения.
5. Решение задачи.
Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.
Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.
Сложность процессов в экономике требует от человека, принимающего решения, высокой квалификации и большого опыта. Это, однако, не гарантирует ошибок, дать быстрый ответ на поставленный вопрос, провести экспериментальные исследования, невозможные или требующие больших затрат и времени на реальном объекте, позволяет математическое моделирование.
Математическое моделирование позволяет принять оптимальное, то есть наилучшее решение. Оно может незначительно отличаться от грамотно принятого решения без применения математического моделирования (около 3%). Однако при больших объемах производства такая "незначительная" ошибка может привести к огромным потерям.
Математические методы, применяемые для анализа математической модели и принятия оптимального решения, весьма сложны и их реализация без применения ЭВМ затруднительна. В составе программ Excel и Mathcad имеются средства, позволяющие провести математический анализ и найти оптимальное решение.
Часть № 1 "Исследование математической модели"
Постановка задачи.
На предприятии имеется возможность выпуска продукции 4-х видов. Для выпуска единицы продукции каждого вида необходимо затратить определенное количество трудовых, финансовых, сырьевых ресурсов. В наличии имеется ограниченное количество каждого ресурса. Реализация единицы продукции приносит прибыль. Значения параметров приведены в таблице 1. Дополнительное условие: финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 не должны превышать 50р. (каждого вида).
На основе математического моделирования средствами Excel определить, какую продукцию и в каких количествах целесообразно произвести с точки зрения получения наибольшей прибыли, проанализировать результаты, ответить на вопросы, сделать выводы.
